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Lo scopo principale di questo lavoro è quello di fornire un nuovo metodo costruttivo per risolvere il problema del comportamento delle geodetiche su superfici iperboliche di firma. In primo luogo: 1) otteniamo una classificazione completa di tutte le possibili curve geodetiche sui più semplici manufatti iperbolici a 2 dimensioni (corno iperbolico; cilindro iperbolico; corno parabolico (cuspide), pantaloni iperbolici); 2) su superfici di genere 2; infine: 3) su superficie iperbolica compatta chiusa senza confini (caso generale); 4) su superficie iperbolica di genere g e con n componenti geodetiche al contorno; 5) su toro iperbolico a 1 punteggiatura; su pantaloni iperbolici generalizzati; nel caso generale: per qualsiasi superficie iperbolica punteggiata di genere g e k punteggiature; 6) nel caso più generale: o in qualsiasi superficie iperbolica di firma