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Die gedämpften Navier-Stokes-Gleichungen (DNS) beschreiben die Strömung mit dem Widerstand gegen die Bewegung der Strömung in einem porösen Medium. Diese Monographie befasst sich mit den 3D inhomogenen Navier-Stokes-Gleichungen mit Dämpfung, die in der realen Welt praktischer und nützlicher sind.Wir beweisen die Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen der 3D gedämpften Navier-Stokes-Gleichungen mit variablem Exponenten und inhomogener Randbedingung. Und wir zeigen die Existenz und Einzigartigkeit der starken Lösungen für die inhomogenen gedämpften Navier-Stokes-Gleichungen im gesamten Raum.